Appliquer les fonctions logarithmiques à des problèmes réels — Mathématiques — Fonctions logarithmiques

Compétences travaillées

Cet exercice couvre les compétences suivantes du programme.

Définir les fonctions logarithmiques

Questions de l'exercice

10 questions · 10 questions en aperçu gratuit.

Définir les fonctions logarithmiques

10 questions

Question 1QCM

On veut définir une fonction logarithmique de base 3 translatée, notée f, dont la courbe admet la droite

x = 2

comme asymptote verticale et vérifie f(5) = 1. Quelle définition est correcte ?

f(x) = ln(x - 2) / ln(3), définie sur ]2, +∞[
f(x) = ln(x + 2) / ln(3), définie sur ]-2, +∞[
f(x) = ln(x - 2) / ln(5), définie sur ]2, +∞[
f(x) = ln(2 - x) / ln(3), définie sur ]-∞, 2[

Question 2Numérique

Soit a un réel strictement positif différent de 1. On définit log_a comme la fonction réciproque de x ↦ a^x. Sachant que log_a(81) = -4, déterminer la valeur de a.

Question 3Ouverte

On considère la fonction g définie sur R par g(t) = 2 + 5

e^{-3t}

. Définir explicitement la fonction h réciproque de g, en précisant son ensemble de définition. Justifier pourquoi h est une fonction logarithmique.

Question 4Analyse graphique

À partir de la courbe fournie, définir la fonction logarithmique représentée en donnant son domaine de définition, son asymptote verticale et son expression sous la forme ln(x - α).

Question 5QCM

Dans un modèle scientifique, une grandeur est définie par F(t) = A + B log_10(t - C). On sait que F est définie exactement pour

t > 4

, que F(5) = 2 et que F(14) = 4. Quelle est l'expression correcte de F ?

F(t) = 2 + 2 log_10(t - 4), définie sur ]4, +∞[
F(t) = 4 + 2 log_10(t - 2), définie sur ]2, +∞[
F(t) = 2 + log_10(t - 4), définie sur ]4, +∞[
F(t) = 2 - 2 log_10(t - 4), définie sur ]4, +∞[

Question 6Numérique

On cherche un réel k tel que la fonction f_k définie par f_k(x) = ln((

x^2 - 5

x + 6)/(x - k)) soit, sur l'intervalle ]3, +∞[, exactement la fonction x ↦ ln(x - 2). Déterminer k.

Question 7Ouverte

Soit Φ une fonction définie sur ]0, +∞[, strictement croissante, vérifiant Φ(xy) = Φ(x) + Φ(y) pour tous x,

y > 0

, et Φ(e) = 7. Définir explicitement Φ(x) pour

x > 0

Question 8Analyse graphique

La figure représente une courbe exponentielle E, une courbe L et la droite

y = x

. En utilisant uniquement les données représentées, définir la courbe L comme fonction logarithmique : donner son nom, son domaine, son image et sa relation avec E.

Question 9QCM

Quel est l'ensemble de définition de la fonction f définie par f(x) = ln(ln(x)/(2 - ln(x))) ?

]1, e^2[
]0, 1[ ∪ ]e^2, +∞[
]0, e^2[
]1, +∞[ \ {e^2}

Question 10Numérique

En chimie, le pH d'une solution est défini par pH = -log_10([H3O+]), où [H3O+] est exprimée en mol·L^-1. Pour une solution de pH égal à 8,3, déterminer [H3O+] en mol·L^-1. Donner une valeur approchée à 3 chiffres significatifs.

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