Analyser les applications des dérivées

Compétences travaillées

Cet exercice couvre les compétences suivantes du programme.

Analyser les applications des dérivées

Questions de l'exercice

10 questions · 10 questions en aperçu gratuit.

10 questions

Question 1Numérique

Soit f définie sur ]0,+∞[ par f(x)=

x^2+4/x

. Calculer la valeur minimale de f sur ]0,+∞[.

Question 2QCM

Pour m réel, on considère f_m(x)=

x^3-3

mx+1 sur ℝ. Pour quelles valeurs de m la fonction admet-elle un maximum local strictement positif et un minimum local strictement négatif ?

$m>0$
$m>2$ ^(-2/3)
$m<0$
0< $m<2$ ^(-2/3)

Question 3Ouverte

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x)=e^

x/(1+x^2)

. Déterminer si f admet un extremum local au point

x=1

, puis justifier la réponse à l'aide de la dérivée.

Question 4Analyse graphique

Le graphique ci-dessous représente la dérivée f' d'une fonction f définie sur [-4,4]. À partir du signe de f', déterminer les intervalles de croissance et de décroissance de f, puis indiquer les abscisses des extrema locaux de f.

Question 5Numérique

On inscrit un rectangle sous la parabole d'équation

y=12-x^2

, au-dessus de l'axe des abscisses, avec ses côtés verticaux et ses sommets supérieurs aux points (-x,12-x^2) et (x,12-x^2), où 0≤x≤√12. Quelle est l'aire maximale possible du rectangle ?

Question 6QCM

Pour

a>0

, on considère f_a définie sur ]0,+∞[ par f_a(x)=ln(x)-ax. Pour quelles valeurs de a le maximum de f_a est-il positif ou nul ?

0< $a≤1/e$
$a≥1/e$
0< $a<e$
$a>e$

Question 7Ouverte

Étudier les variations de f définie sur ℝ par f(x)=

x^4-4x^3+4

x^2, puis préciser ses extrema locaux et globaux.

Question 8Analyse graphique

Le graphique ci-dessous représente une fonction f sur l'intervalle [-3,5]. À partir de la courbe, déterminer les extrema locaux visibles, puis l'extremum absolu minimum et l'extremum absolu maximum sur [-3,5].

Question 9Numérique

Soit a un réel et f_a définie sur [-2,2] par f_a(x)=

x^3-3

x+a. Déterminer la valeur de a pour laquelle le maximum global de f_a sur [-2,2] est égal au double de l'opposé du minimum global.

Question 10QCM

Pour λ réel, on considère f_λ définie sur ]0,+∞[ par f_λ(x)=

x^2-2

ln(x)+λx. Quelle affirmation est vraie pour tout λ∈ℝ ?

f_λ admet toujours un unique minimum global sur ]0,+∞[.
f_λ admet toujours un unique maximum global sur ]0,+∞[.
f_λ n'admet aucun extremum si λ<0.
f_λ admet deux extrema locaux distincts pour λ>2.

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